מרוכבים וסדרה חשבונית 2מספרים מרוכבים 572 · שיעור 45

שיעור 45: מרוכבים וסדרה חשבונית 2

מספרים מרוכבים · 5 יחידות · שאלון 572

מספרים מרוכבים · שאלון 572

📄 התרגיל

שאלה מבגרות: שני מקומות גאומטריים במישור גאוס, ואחר כך סדרה חשבונית שהאיבר הראשון שלה וההפרש שלה מספרים מרוכבים. קודם השאלה, ואחריה הפתרון 👇

📌 תזכורת – סכום סדרה חשבונית

הנוסחה נכונה גם כשהאיבר הראשון וההפרש הם מספרים מרוכבים:

S_n = n2 · [2a₁ + (n − 1)d]

מספר מרוכב הוא ממשי כאשר החלק המדומה שלו שווה 0 .

📝 השאלה

z הוא מספר מרוכב. נתונים שני מקומות גאומטריים:

I. zz + i(z − z) + z + z = 0

II. |z|² + i(z − z) = 0

המקומות הגאומטריים הנתונים נחתכים בשתי נקודות A(x₁ , y₁) ו־B(x₂ , y₂) , (x₁ < x₂)

ב.מצא את השיעורים של הנקודות A ו־B

ג.נתונה הנקודה P(x₀ , y₀) . הנקודה P נמצאת במרחק שווה מכל הנקודות שעל המקום הגאומטרי I . נתון: z₀ = x₀ + y₀ · i . הוכח שהמספר הצמוד ל־z₀ נמצא על המקום הגאומטרי II

📝 השאלה · המשך

ד.נתון: z₁ = x₁ + y₁ · i ( x₁ , y₁ הם שיעורי הנקודה A שמצאת בסעיף ב). נתונה סדרה חשבונית שבה האיבר הראשון הוא 5z₁ וההפרש הוא z₀ . מצא את כל ערכי n שעבורם S_n (סכום n האיברים הראשונים בסדרה) הוא מספר ממשי (אם יש כאלה)

סעיף ב – נקודות החיתוך

מציבים z = x + yi , ואז z = x − yi :

zz = |z|² = x² + y²

z − z = 2yi

z + z = 2x

z − z = −2yi

מקום גאומטרי I:

x² + y² + i · 2yi + 2x = 0

x² + y² − 2y + 2x = 0

(x + 1)² + (y − 1)² = 2

מעגל שמרכזו (−1 , 1) והרדיוס שלו √2 .

מקום גאומטרי II:

· המשך

מקום גאומטרי II:

x² + y² + i · (−2yi) = 0

x² + y² + 2y = 0

x² + (y + 1)² = 1

מעגל שמרכזו (0 , −1) והרדיוס שלו 1 .

חיתוך – מחסרים את המשוואות:

(x² + y² − 2y + 2x) − (x² + y² + 2y) = 0

2x − 4y = 0

x = 2y

מציבים במשוואה II:

(2y)² + y² + 2y = 0

· המשך

(2y)² + y² + 2y = 0

5y² + 2y = 0

y(5y + 2) = 0

y = 0 ⇐ x = 0

y = −25 ⇐ x = −45

לפי הנתון x₁ < x₂ :

✅

תשובה: A(−45 , −25)
B(0 , 0)

סעיף ג – המספר z₀

הנקודה שנמצאת במרחק שווה מכל הנקודות של מעגל היא מרכז המעגל. מרכז המקום הגאומטרי I הוא (−1 , 1) :

z₀ = −1 + i

z₀ = −1 − i

מציבים x = −1 , y = −1 במשוואה של II:

x² + y² + 2y = (−1)² + (−1)² + 2 · (−1) = 1 + 1 − 2 = 0

המשוואה מתקיימת, לכן z₀ נמצא על המקום הגאומטרי II.

✅

תשובה: z₀ = −1 + i , ו־z₀ = −1 − i מקיים את II

סעיף ד – מתי הסכום ממשי

z₁ = −45 − 25i

a₁ = 5z₁ = −4 − 2i

d = z₀ = −1 + i

מציבים בנוסחת הסכום:

S_n = n2 · [2(−4 − 2i) + (n − 1)(−1 + i)]

S_n = n2 · [−8 − 4i − n + 1 + (n − 1)i]

מסדרים חלק ממשי וחלק מדומה:

S_n = n2 · [(−7 − n) + (n − 5)i]

S_n = n(−7 − n)2 + n(n − 5)2i

· המשך

S_n = n(−7 − n)2 + n(n − 5)2i

S_n ממשי כאשר החלק המדומה שווה 0 :

n(n − 5)2 = 0

n = 0 (לא אפשרי, n מספר טבעי) או n = 5

בדיקה – הסכום עבור n = 5 :

S₅ = 5 · (−12)2 = −30

✅

תשובה: n = 5 (ואז S₅ = −30 )

✅ סיימנו!

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא